ANTECEDENDES HISTORICOS DEL CÁLCULO

El Cálculo Infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral.

El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones.

En lo que concierne a las derivadas, existen dos conceptos geométricos que le dieron origen:

El problema de la tangente a una curva.

El problema de los extremos (máximos y mínimos)

Que en su conjunto dieron a lo que actualmente se conoce como Cálculo Diferencial.

Siglo XVII

Los matemáticos perdieron el “miedo” que los antiguos griegos le habían tenido a los infinitos: Kepler y Cavalieri fueron los primeros en usarlos, A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculo de tangentes, áreas, volúmenes; Los primeros darían origen al cálculo diferencial y los otros al Cálculo Integral.

Newton y Leibniz

Desarrollaron, además, reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación), y mostraron que ambos conceptos eran operaciones inversas (como la suma y la resta, la multiplicación y la división, etcétera), lo cual es la esencia del Teorema Fundamental del Cálculo.

Isaac Newton

Desarrolló su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto con Fermat.

Isaac Newton  (1642-1727), a quien no cabe jusgar sino como uno de los mas grandes genios de la historia de la ciencia. Sin olvidar sus importantes aportaciones a las matemáticas las astronomía y la óptica,  lo mas brillante de su contribución pertenece al campo  de la física.

Isaac Newton

Docencia e investigaciones matemáticas

A su regreso definitivo a Cambridge, Newton fue elegido miembro becario del Trinity College en octubre de 1667, y dos años más tarde sucedió a Barrow en su cátedra. Durante sus primeros años de docencia no parece que las actividades lectivas supusieran ninguna carga para él, ya que tanto la complejidad del tema como el sistema docente tutorial favorecían el absentismo a las clases.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675.

Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera diez años antes.

Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se le deben los nombres de: Cálculo Diferencial y Cálculo Integral.

Fue el primero en usar el término “Función” y el uso de símbolo  para la igualdad.

En su investigación conservó un carácter geométrico y, -diferenciándose de Newton- trató a la derivada como un cociente de incremental y no como una velocidad.

Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se le deben los nombres de: Cálculo Diferencial y Cálculo Integral, así como los símbolos  y el de , para la derivada y la integral, respectivamente, que en la actualidad conservan vigencia y uso.

Fue el primero en usar el término “Función” y el uso de símbolo  para la igualdad.

Entonces… ¿quién descubrió el Cálculo?

Los dos descubrimientos fueron independientes y siguieron vías muy distintas, tanto conceptual como metodológicamente.

Newton fuel el primero en descubrir y desarrollar el método de fluxiones entre 1666 y 1669,

Leibniz descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo  diferencial en 1675. Su primera publicación sobre el tema fue en 1684 – seis años antes que lo hiciera Newton-.

Contrató a Bernoulli para que le explicara los nuevos descubrimientos acerca del cálculo diferencial.

 (Gottfried Wilhelm von Leibniz; Leipzig, actual Alemania, 1646 - Hannover, id., 1716) Filósofo y matemático alemán. Su padre, profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, falleció cuando Leibniz contaba seis años. Capaz de escribir poemas en latín a los ocho años, a los doce empezó a interesarse por la lógica aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica.

Leibniz

En 1672 fue enviado a París con la misión de disuadir a Luis XIV de su propósito de invadir Alemania; aunque fracasó en la embajada, Leibniz permaneció cinco años en París, donde desarrolló una fecunda labor intelectual. De esta época datan su invención de una máquina de calcular capaz de realizar las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, así como la elaboración de las bases del cálculo infinitesimal.

Las contribuciones de Leibniz en el campo del cálculo infinitesimal, efectuadas con independencia de los trabajos de Newton, así como en el ámbito del análisis combinatorio, fueron de enorme valor. Introdujo la notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral. Los trabajos que inició en su juventud, la búsqueda de un lenguaje perfecto que reformara toda la ciencia y permitiese convertir la lógica en un cálculo, acabaron por desempeñar un papel decisivo en la fundación de la moderna lógica simbólica.

Al dominar esta rama, en 1696, L´Hopital publicó el primer libro de esta materia, dando escuetísimo reconocimiento a Bernoulli. Este texto adquirió mayor celebridad por el resultado más importante que en él aparece: “La regla de L´Hopital”.

La difusión de las nuevas ideas fue muy lenta, y al principio, sus aplicaciones fueron escasas. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas críticas, pues la justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuando aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la presentación final de los métodos que por su utilización en la resolución de problemas concretos.

Regla de l'Hôpital

Guillaume de l'Hôpital

 (Guillaume de l'Hôpital, marqués de Sainte-Mesme; París, 1661- id., 1704) Matemático francés. Militar de profesión, se interesó por el estudio de la matemática por influencia de Bernoulli y llevó a cabo la primera exposición completa del cálculo infinitesimal en su obra Análisis de los infinitamente pequeños para el entendimiento de las líneas curvas (1696). La regla de L'Hôpitalpermite eliminar ciertas indeterminaciones en el paso al límite del cociente de dos funciones, aplicando el cálculo diferencial.

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos de tipo  -  más delicados.

•          Como   y   si  , se tiene que   si   como consecuencia del

•          Dado que f(c)=g(c)=0, aplicando el para todo x en (a,b), con x distinto de c, existe tx en el intervalo de extremos a y b, tal que el cociente f(x)/g(x) se puede escribir de la siguiente manera:

Cuando x tiende hacia c, igualando los valores de las igualdades de arriba, tx también tiende hacia c, así que:Nota: el último paso al límite, aunque es cierto, requeriría una justificación más rigurosa.La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x)

Johannes Kepler

(Würtemburg, actual Alemania, 1571-Ratisbona, id., 1630) Astrónomo, matemático y físico alemán. Hijo de un mercenario -que sirvió por dinero en las huestes del duque de Alba y desapareció en el exilio en 1589- y de una madre sospechosa de practicar la brujería, Johannes Kepler superó las secuelas de una infancia desgraciada y sórdida merced a su tenacidad e inteligencia.

Johannes Kepler

Culminó su obra durante su estancia en Linz, en donde enunció la tercera de sus leyes, que relaciona numéricamente los períodos de revolución de los planetas con sus distancias medias al Sol; la publicó en 1619 en Harmonices mundi (Sobre la armonía del mundo), como una más de las armonías de la naturaleza, cuyo secreto creyó haber conseguido desvelar merced a una peculiar síntesis entre la astronomía, la música y la geometría.